\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Le concept de potentiel r\u00e9el est le concept le plus fondamental de la compr\u00e9hension adisciplinaire du r\u00e9el. Dans le cadre scientifique actuel, il s\u2019\u00e9labore naturellement \u00e0 partir des principes de la m\u00e9canique quantique. Cependant, apr\u00e8s avoir fait ici l\u2019objet d\u2019un examen critique quant \u00e0 sa signification \u00e9pist\u00e9mologique et ontologique, il appara\u00eetra susceptible de trouver des applications dans l\u2019ensemble des champs de la recherche.\u00a0<\/p>\n
3.1\u00a0Le graphe math\u00e9matique<\/strong>\u00a0<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Le graphe est connu comme un outil math\u00e9matique aux multiples applications en physique, en biologie et dans les sciences sociales 1<\/sup><\/a>. Il permet de d\u00e9velopper des m\u00e9thodes qui simplifient des situations d\u2019aspect inextricable en tenant compte des modalit\u00e9s de la complexification. Le graphe en arbre<\/em>, en particulier, permet de repr\u00e9senter de fa\u00e7on g\u00e9n\u00e9rale les g\u00e9n\u00e9alogies et, plus g\u00e9n\u00e9ralement, les effets de jeux combinatoires qui se d\u00e9roulent dans le temps.\u00a0\u00a0<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Dans le cadre d\u2019une th\u00e9orie globale de l\u2019\u00e9volution, nous verrons comment le graphe en arbre peut s\u2019av\u00e9rer des plus utiles pour d\u00e9crire le d\u00e9roulement des processus. Ceux-ci prennent alors la forme de trajets particuliers dans le graphe. Nous verrons que le graphe s\u2019av\u00e9rera m\u00eame indispensable pour saisir intuitivement certaines caract\u00e9ristiques importantes de la m\u00e9canique quantique puis, dans le domaine des sciences cognitives, pour faire saisir la fa\u00e7on dont la conscience fonctionne et se constitue dans le temps.\u00a0<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Le graphe du potentiel est un graphe en arbre dont toutes les branches sont orient\u00e9es dans le sens du temps, soit vers le futur, en se divisant conform\u00e9ment \u00e0 des r\u00e8gles qui d\u00e9coulent de fa\u00e7on simple et directe de la m\u00e9canique quantique. Certains th\u00e9or\u00e8mes de la th\u00e9orie des graphes en arbre, notamment le th\u00e9or\u00e8me d\u2019unicit\u00e9 et le th\u00e9or\u00e8me de regroupement, permettront de comprendre la raison des difficult\u00e9s pos\u00e9es par le r\u00f4le de la conscience<\/em> en m\u00e9canique quantique 2<\/sup><\/a>. Certains des paradoxes de la m\u00e9canique quantique pourront ainsi trouver une solution remarquablement simple, sur une base math\u00e9matique exacte exprim\u00e9e en termes de graphes.\u00a0\u00a0<\/p>\n 3.1.1\u00a0D\u00e9finition du graphe math\u00e9matique<\/strong>\u00a0<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Le graphe arborescent orient\u00e9<\/em> sera utilis\u00e9 dans ce qui suit. Intuitivement, un graphe est un sch\u00e9ma compos\u00e9 de points, appel\u00e9s sommets<\/em>, et de lignes reliant deux points, appel\u00e9es arcs<\/em> (ou fl\u00e8ches<\/em>). Chacun des arcs peut \u00eatre orient\u00e9. Le graphe en arbre orient\u00e9 est intuitivement l\u2019analogue d\u2019un arbre de filiation parentale. Chacun des sommets peut avoir des \u00ab\u00a0descendants\u00a0\u00bb et, \u00e0 l\u2019exception du premier (ou des premiers), chacun des sommets \u00ab\u00a0descend\u00a0\u00bb d\u2019un autre sommet. Chacun des arcs repr\u00e9sente une \u00ab\u00a0filiation\u00a0\u00bb et se trouve orient\u00e9 dans un sens assimilable \u00e0 la fl\u00e8che du temps. Le nombre possible de \u00ab\u00a0descendants\u00a0\u00bb imm\u00e9diats varie de z\u00e9ro \u00e0 un nombre quelconque.\u00a0\u00a0<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Si le graphe en arbre est tel qu\u2019il n\u2019y a qu\u2019un seul sommet qui ne \u00ab\u00a0descend\u00a0\u00bb, ou ne d\u00e9coule, d\u2019aucun autre, ce sommet est appel\u00e9 la racine<\/em> de l\u2019arbre, lequel est alors un graphe dit arborescent<\/em>. En pratique, les graphes en arbres qui seront consid\u00e9r\u00e9s ici seront arborescents et orient\u00e9, et les deux expressions \u2014 graphe en arbre et graphe arborescent \u2014 seront souvent employ\u00e9es de fa\u00e7on \u00e9quivalente.<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 D\u00e9finition formelle du graphe<\/em><\/strong>\u00a0<\/em><\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Un graphe orient\u00e9 est, en g\u00e9n\u00e9ral, formellement d\u00e9fini comme un quadruplet (X<\/em>, U<\/em>, \u00a0o<\/em>, e<\/em>), o\u00f9 X<\/em> d\u00e9signe l\u2019ensemble des sommets du graphe, U<\/em> l\u2019ensemble des arcs du graphe, o<\/em> d\u00e9signe une application de U<\/em> dans X<\/em> appel\u00e9e origine, et e<\/em> d\u00e9signe une application de U<\/em> dans X<\/em> appel\u00e9e extr\u00e9mit\u00e9 3<\/sup><\/a>.\u00a0\u00a0<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Intuitivement, cette d\u00e9finition signifie qu\u2019un graphe orient\u00e9 est caract\u00e9ris\u00e9 par un ensemble d\u2019arcs et un ensemble de sommets tels que chacun des arcs poss\u00e8de deux sommets, l\u2019un \u00e9tant l\u2019origine de l\u2019arc et l\u2019autre son extr\u00e9mit\u00e9.\u00a0<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Un graphe peut \u00eatre orient\u00e9 ou non orient\u00e9, connexe ou non connexe, fini ou infini. Il peut ou non comporter des cycles, c\u2019est-\u00e0-dire des trajets ferm\u00e9s, obtenus en parcourant une succession d\u2019arcs (sans passer deux fois sur un m\u00eame arc, et ind\u00e9pendamment de l\u2019orientation des arcs) de sommet en sommet. On appelle cha\u00eene<\/em> un trajet parcourant de fa\u00e7on continue une succession d\u2019arcs (sans tenir compte de l\u2019orientation des arcs). Dans ce qui suit, le mot trajet<\/em> sera souvent utilis\u00e9 au lieu de cha\u00eene.\u00a0<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Le graphe en arbre est, par d\u00e9finition, un graphe orient\u00e9 tel que ce graphe est connexe et sans cycle 4<\/sup><\/a>. Intuitivement, cette d\u00e9finition math\u00e9matique exploite la caract\u00e9ristique de tout arbre de filiation. Il est clair que, par nature, l\u2019arbre de filiation est d\u2019un seul tenant – il est \u00ab\u00a0connexe\u00a0\u00bb – et qu\u2019il est dirig\u00e9 dans une seule direction g\u00e9n\u00e9rale qui est celle du futur – il est \u00ab\u00a0sans cycle\u00a0\u00bb -.\u00a0<\/p>\n 3.1.2\u00a0Le th\u00e9or\u00e8me d\u2019unicit\u00e9 et le th\u00e9or\u00e8me de regroupement<\/strong>\u00a0<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Voici quelques propri\u00e9t\u00e9s des graphes en arbre 5<\/sup><\/a>:\u00a0\u00a0<\/p>\n A) Tout couple de sommets du graphe est reli\u00e9 par une cha\u00eene d\u2019arcs et une seule.<\/p>\n B) Si on supprime un arc quelconque du graphe, celui-ci n\u2019est plus connexe.\u00a0<\/p>\n C) Si S<\/em> d\u00e9signe le nombre de sommets et A<\/em> le nombre d\u2019arcs,<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0on a\u00a0:\u00a0\u00a0S<\/em> =\u00a0A<\/em>\u00a0+\u00a01.\u00a0<\/p>\n D) Si on supprime un arc quelconque entre deux sommets et qu\u2019on fasse glisser l\u2019un sur l\u2019autre ces deux sommets tout en conservant ce qui reste de la structure du graphe initial, on obtient un nouveau graphe en arbre.\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Les propri\u00e9t\u00e9s A et D joueront des r\u00f4les importants dans les d\u00e9veloppements qui suivront. La propri\u00e9t\u00e9 A sera d\u00e9sign\u00e9e le plus souvent par l\u2019expression th\u00e9or\u00e8me d\u2019unicit\u00e9<\/em>, et la propri\u00e9t\u00e9 D, par l\u2019expression th\u00e9or\u00e8me de regroupement<\/em>. Ces deux th\u00e9or\u00e8mes expriment deux caract\u00e9ristiques essentielles des arbres de filiation en g\u00e9n\u00e9ral. On peut s\u2019en convaincre assez facilement, de fa\u00e7on intuitive.<\/p>\n 1<\/a> En physique, les graphes servent, par exemple, \u00e0 l\u2019analyse des circuits \u00e9lectriques ou des r\u00e9actions chimiques; en biologie, ils servent, par exemple, \u00e0 \u00e9tablir la g\u00e9n\u00e9tique des populations; dans les sciences sociales, par exemple, ils sont essentiels \u00e0 la conceptualisation des r\u00e9seaux de communication et des relations de parent\u00e9. 1<\/a><\/p>\n<\/div>\n 2<\/a> Les r\u00e9f\u00e9rences de base \u00e0 ce sujet sont le chapitre VI de l\u2019ouvrage de John von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics<\/em>, Princeton, Princeton University Press, 1955 (Chap. VI: \u201cThe measuring process\u201d) et l\u2019article d\u2019Eugen P. Wigner publi\u00e9 en 1961: \u201cRemarks on the mind-body question\u201d dans The scientist speculates<\/em> (I.J. Good \u00e9d.). Heinemann, Londres (reproduit dans E. Wigner, 1967 : Symmetries and reflections<\/em>. Indiana U.P., Bloomington; et in Quantum theory and measurement<\/em>, (J.A. Wheeler et W.H. Zurek \u00e9d.) Princeton UP, 1983. 2<\/a><\/p>\n<\/div>\n