{"id":1869,"date":"2011-07-31T18:58:48","date_gmt":"2011-07-31T22:58:48","guid":{"rendered":"http:\/\/agoratheque.yprovencal.ep.profweb.qc.ca\/?page_id=1869"},"modified":"2014-09-02T10:18:16","modified_gmt":"2014-09-02T14:18:16","slug":"4-1-2-les-ensembles-de-mandelbrot","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/agoratheque.3zcom.com\/?page_id=1869","title":{"rendered":"4.1.2 Les ensembles de Mandelbrot"},"content":{"rendered":"
\n
\"\u00c9quation<\/a>

\u00c9quation g\u00e9n\u00e9ratrice du \u00ab\u00a0Scarab\u00e9e\u00a0\u00bb<\/p><\/div>\n

\"Graphique<\/a>

Graphique de l’\u00e9quation de Mandelbrot<\/p><\/div>\n

\"Le<\/a>

Le \u00ab\u00a0Scarab\u00e9e\u00a0\u00bb de Mandelbrot<\/p><\/div>\n

Dans son livre The Emperor\u2019s New Mind<\/em>, Roger Penrose d\u00e9crit un voyage \u00e9trange qu\u2019il a fait au \u00ab pays de Tor\u2019Bled-Nam \u00bb. Ce pays est en fait un univers plan, dans lequel on peut voyager gr\u00e2ce \u00e0 un ordinateur qui calcule les points d\u2019une figure complexe \u00e0 partir d\u2019une fonction math\u00e9matique qui est fort simple, du moins aux yeux des math\u00e9maticiens[1]<\/span>. Apr\u00e8s plusieurs millions de ces calculs, il en a r\u00e9sult\u00e9 un ensemble de points marqu\u00e9s sur le plan \u00e0 certains endroits pr\u00e9cis. Certaines r\u00e9gions sont enti\u00e8rement noircies, d\u2019autres laissent voir un ensemble diffus de taches. Ces points repr\u00e9sentent un \u00ab ensemble de Mandelbrot[2]<\/span>\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Penrose raconte qu\u2019au d\u00e9but, il \u00e9tait \u00ab\u00a0sous l\u2019impression que les structures floues (fuzzy<\/em>) qu\u2019il voyait \u00e9tait le r\u00e9sultat d\u2019un dysfonctionnement de l\u2019ordinateur[3]<\/span>\u00a0\u00bb\u00a0Puis il a examin\u00e9 le plan ainsi travaill\u00e9 et il y a d\u00e9couvert, \u00e9crit-il, que la complexit\u00e9 de l\u2019ensemble de Mandelbrot est vraiment remarquable[4]<\/span>. Il y a rencontr\u00e9 une forme inattendue, une sorte de \u00ab\u00a0scarab\u00e9e\u00a0\u00bb poilu (voir les figures ci-dessus). Gr\u00e2ce \u00e0 l\u2019ordinateur, il a pu observer de plus pr\u00e8s la bestiole, comme avec une forte loupe. En grossissant l\u2019un des poils en forme de spirale \u00e9bouriff\u00e9e, il a aper\u00e7u un autre scarab\u00e9e, tout petit, au milieu d\u2019une touffe. Les poils eux-m\u00eames ressemblent \u00e0 des \u0153uvres d\u2019art, sortes de minuscules galaxies, chacune avec des myriades de points diffus, dont on pourrait se demander si, par hasard, elle ne contiendrait pas des \u00e9toiles et des plan\u00e8tes et, peut-\u00eatre m\u00eame, sur l\u2019une de ces plan\u00e8tes, des animaux… !<\/p>\n

Penrose \u00e9crit encore, \u00e0 propos de l\u2019ensemble de Mandelbrot : \u00ab Pour \u00eatre compliqu\u00e9, il l\u2019est et, pourtant, il est g\u00e9n\u00e9r\u00e9 par une r\u00e8gle si simple![5]<\/span>\u00a0\u00bb. Pourtant \u00ab personne parmi nous ne peut comprendre r\u00e9ellement tout le d\u00e9tail de la structure de l\u2019ensemble de Mandelbrot et aucun ordinateur ne peut la montrer au complet [\u2026]. L\u2019ordinateur est utilis\u00e9 essentiellement de la m\u00eame fa\u00e7on qu\u2019un instrument exp\u00e9rimental par un physicien qui veut explorer la structure du monde physique [\u2026]. Tout comme le mont Everest, l\u2019ensemble de Mandelbrot est juste l\u00e0<\/em>![6]<\/span><\/p>\n

On peut conclure, ici, en remarquant qu\u2019en effet, l\u2019univers math\u00e9matique \u2014 ou mieux, les univers math\u00e9matiques \u2014 nous r\u00e9v\u00e8lent souvent toute une faune d\u2019objets, une esp\u00e8ce de vie qui pullule. Une sorte de \u00ab hasard \u00bb s\u2019y trouve, d\u2019une nature tr\u00e8s particuli\u00e8re et paradoxale. C\u2019est le hasard qui fait qu\u2019une chose surgit n\u00e9cessairement parce que math\u00e9matiquement. C\u2019est en quelque sorte un hasard ontologique.<\/p>\n

Supposons qu\u2019un math\u00e9maticien d\u00e9veloppe un jour une \u00e9quation de fa\u00e7on \u00e0 constituer une structure math\u00e9matique tr\u00e8s complexe. Supposons m\u00eame qu\u2019il y d\u00e9couvre au moyen de l\u2019ordinateur, par calcul ou par d\u00e9monstration des \u00ab\u00a0propri\u00e9t\u00e9s\u00a0\u00bb difficilement croyables, surtout pour ceux qui ne sont pas math\u00e9maticiens, soit des sous-structures inattendues \u00e9voquant quelque chose de r\u00e9el. Par exemple, ce math\u00e9maticien y d\u00e9couvrirait une structure analogue \u00e0 celle de cristaux, \u00e0 la structure mol\u00e9culaire H2<\/sub>O, voire de l\u2019ADN ou de prot\u00e9ines ou, m\u00eame, il y d\u00e9couvrirait carr\u00e9ment et puis d\u2019autres s\u00e9quences ordonn\u00e9es analogues \u00e0 des formes qui se reproduisent et prolif\u00e8rent.\u00a0Poursuivant l\u2019\u00e9tude de cette fonction math\u00e9matique, il y d\u00e9couvrirait peu \u00e0 peu l\u2019\u00e9quivalent d\u2019un espace-temps et une biosph\u00e8re qui y appara\u00eetrait comme un potentiel r\u00e9el et qui s\u2019y d\u00e9velopperait conform\u00e9ment \u00e0 la structure d\u2019un graphe arborescent. Enfin, des s\u00e9quences qu\u2019on pourrait comparer \u00e0 des expressions esth\u00e9tiques ou po\u00e9tiques, sous l\u2019aspect de figures qui ressembleraient \u00e0 des \u0153uvres d\u2019art. Pourquoi pas, m\u00eame, imaginer que ce type d\u2019exp\u00e9rience pourrait aller jusqu\u2019\u00e0 se r\u00e9v\u00e9ler instructif en ce qui concerne notre Univers ou en ce qui nous concerne nous-m\u00eames, incluant nos conceptions philosophiques ou scientifiques\u00a0? Ce type de r\u00e9sultat ne diff\u00e8re peut-\u00eatre pas tellement de notre propre histoire.<\/p>\n

Suite<\/a><\/div>\n
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[1]<\/a> Il s\u2019agit, en l\u2019occurrence, de la fonction \u00a0f(z)<\/em> = z<\/em>2<\/sup> + c<\/em>, o\u00f9 z<\/em> est une variable complexe (i.e. une variable de la forme x<\/em> + yi<\/em>, o\u00f9 i<\/em> est le nombre imaginaire de base, qui est \u00e9gal \u00e0 la racine carr\u00e9e de -1) et c<\/em> est un nombre constant complexe. En gros, l\u2019ordinateur applique de fa\u00e7on r\u00e9currente la fonction f(z)<\/em> au r\u00e9sultat obtenu \u00e0 partir de diff\u00e9rentes valeurs de z<\/em>. Si le r\u00e9sultat de cette s\u00e9quence ne diverge pas, cette valeur de z<\/em> est retenue.<\/p>\n<\/div>\n

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[2]<\/a> D\u2019apr\u00e8s l\u2019article du math\u00e9maticien Beno\u00eet B. Mandelbrot : Fractals and the rebirth of the iteration theory dans The beauty of fractals : images of complex dynamical systems<\/em>, par H.-O. Peitgen et P. H. Richter, Berlin, Springer-Verlag, 1986, p. 151-160. Mandelbrot a donn\u00e9 le nom de fractal<\/em> \u00e0 ce type d\u2019ensemble. Penrose base son histoire sur les travaux de Mandelbrot et d\u2019autres chercheurs qui ont contribu\u00e9 \u00e0 les concr\u00e9tiser.<\/p>\n<\/div>\n

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[3]<\/a> Ibid<\/em>., p. 95 (idem).<\/p>\n<\/div>\n

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[4]<\/a> Roger Penrose, The Emperor\u2019s New Mind. Concerning Computers, Minds, and The Laws of Physics<\/em>, Oxford, Oxford University Press, Toronto, 1989, p. 92 (traduction libre).<\/p>\n<\/div>\n

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[5]<\/a> Ibid<\/em>., p. 79 (idem).<\/p>\n<\/div>\n

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[6]<\/a> Ibid<\/em>. (idem).<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

modifier<\/a><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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