{"id":2068,"date":"2011-08-08T13:56:24","date_gmt":"2011-08-08T17:56:24","guid":{"rendered":"http:\/\/agoratheque.yprovencal.ep.profweb.qc.ca\/?page_id=2068"},"modified":"2014-04-03T16:25:09","modified_gmt":"2014-04-03T20:25:09","slug":"5-6-les-super-ordres-de-grandeur","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/agoratheque.3zcom.com\/?page_id=2068","title":{"rendered":"5.6 Les super-ordres de grandeur"},"content":{"rendered":"

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 On appelle habituellement \u00ab\u00a0ordres de grandeurs\u00a0\u00bb les diff\u00e9rentes puissances de dix. Ainsi les nombres qui sont de l\u2019ordre de 10, 100, 1000, \u2026, 106<\/sup>, 109<\/sup>,\u00a0etc., repr\u00e9sentent les ordres de grandeurs usuels. Nous pouvons dire par exemple que l\u2019ordre de grandeur de la population mondiale actuelle est de l\u2019ordre de la dizaine de milliards, soit 1010<\/sup>. Certains des nombres courants les plus grands sont les nombres dits astronomiques \u2014 par exemple, le nombre de galaxies dans l\u2019Univers observable ou le nombre d\u2019\u00e9toiles dans une grande galaxie \u2014 sont de l\u2019ordre de dix \u00e0 cent milliards. Cependant, s\u2019il s\u2019agit d\u2019exprimer num\u00e9riquement la richesse du potentiel r\u00e9el global de la biosph\u00e8re ou m\u00eame le potentiel r\u00e9el d\u2019un humain, le nombre est si grand qu\u2019il d\u00e9fie l\u2019imagination et\u2026 notre notation num\u00e9rique habituelle!\u00a0<\/p>\n

\u00a0 Quelques grands nombres de la physique\u2026<\/em><\/strong>\u00a0<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Quelques-uns des grands nombres de la physique sont 1010<\/sup> (nombre approximatif d\u2019\u00e9toiles dans la Galaxie), 14 .109<\/sup>\u00a0ann\u00e9es (\u00e2ge de l\u2019Univers) ou encore 2 .1022<\/sup> kilom\u00e8tres (distance de la galaxie d\u2019Androm\u00e8de). L\u2019\u00e9chelle dite microscopique repr\u00e9sente les plus petites quantit\u00e9s physiques comme, par exemple, 10 \u201331<\/sup> kg (masse approximative d\u2019un \u00e9lectron), 10 \u20138<\/sup> m\u00e8tre (taille approximative d\u2019un atome).\u00a0\u00a0<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 L\u2019un des plus grands nombres d\u2019objets naturels est le nombre approximatif de protons dans l\u2019Univers observable, qui est de l\u2019ordre de 1080<\/sup>. On remarque que m\u00eame dans ce cas la puissance 80 demeure un nombre relativement petit et facile \u00e0 transcrire ou \u00e0 manipuler. Cependant lorsque les nombres sont si grands que leur ordre de grandeur est lui-m\u00eame tr\u00e8s grand, cette notation devient malais\u00e9e. Par exemple, le nombre approximatif de tous les sous-ensembles de protons dans l\u2019Univers observable peut \u00eatre exprim\u00e9, en combinant les \u00e9critures alphab\u00e9tiques et num\u00e9riques, comme 2 exposant (10 exposant (80)), c\u2019est-\u00e0-dire {2 exposant (1080)<\/sup>}. Convenons par commodit\u00e9 d\u2019\u00e9crire ce nombre en abr\u00e9g\u00e9, soit 2 exp(1080<\/sup>). Un tel nombre est bien plus grand que tous les nombres astronomiques usuels. M\u00eame son ordre de grandeur est trop grand pour \u00eatre exprim\u00e9 de fa\u00e7on exacte. Appelons les nombres aussi grands \u00ab\u00a0super-grands nombres\u00a0\u00bb.\u00a0<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 D\u00e9finissons ici une autre sorte d\u2019ordre de grandeur qui permettra de comparer les super-grands nombres. Nous parlerons ici des \u00ab\u00a0super-ordres de grandeurs<\/em>\u00a0\u00bb, lesquels seront exprim\u00e9s ainsi\u00a0: 101<\/sup><\/span><\/strong>, 102<\/sup><\/span><\/strong>, 103<\/sup><\/span><\/strong>, 104<\/sup><\/span><\/strong>, \u2026 (prononcer dix super un, dix super deux, etc.). Le premier super-ordre, soit 101<\/sup><\/span><\/strong>, est d\u00e9fini comme \u00e9gal \u00e0 10\u00a0; le second, soit 102<\/sup><\/span><\/strong>, est alors 1010<\/sup>, c\u2019est-\u00e0-dire dix milliards, le troisi\u00e8me, 103<\/sup><\/span><\/strong>, est \u00e9gal \u00e0\u00a010 exp(1010<\/sup>) et ainsi de suite. De fa\u00e7on g\u00e9n\u00e9rale,\u00a0\u00a0<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 10i +1<\/sup><\/span><\/strong> =\u00a010 exp(10i<\/sup><\/span><\/strong>)\u00a0<\/p>\n

o\u00f9 la variable i<\/em> prend les valeurs 1, 2, 3, \u2026 . Nous conviendrons que les nombres compris entre les super-ordres i<\/em> et\u00a0i <\/em>\u00a0+ 1 rel\u00e8vent du super-ordre i<\/em>. Par exemple, un million, c\u2019est-\u00e0-dire 106<\/sup>, rel\u00e8ve du super-ordre 1, c\u2019est-\u00e0-dire 101<\/sup><\/span><\/strong>. Les nombres dits astronomiques, comme dix milliards ou cent milliards, c\u2019est-\u00e0-dire 1010 <\/sup>ou 1011<\/sup>, rel\u00e8vent du second super-ordre, c\u2019est-\u00e0-dire102<\/sup><\/span><\/strong>. Un exemple de nombre relevant du troisi\u00e8me super-ordre est le nombre de sous-ensembles d\u2019atomes dans l\u2019Univers observable, soit 2 exp(1080<\/sup>). Nous utiliserons parfois, dans ce qui suit, l\u2019expression de \u00ab\u00a0super-nombre\u00a0\u00bb afin de d\u00e9signer des nombres de super-ordre 2 ou plus.\u00a0<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 En g\u00e9n\u00e9ral, on peut dire de deux nombres qu\u2019ils sont de tailles comparables s\u2019ils rel\u00e8vent d\u2019un m\u00eame ordre de grandeur. Ainsi deux galaxies peuvent \u00eatre consid\u00e9r\u00e9es de tailles comparables si elles contiennent respectivement 10 milliards et 20 milliards d\u2019\u00e9toiles. En somme, elles sont comparables puisqu\u2019elles sont toutes deux de l\u2019ordre de grandeur 1010<\/sup>. Cette fa\u00e7on d\u2019estimer la comparabilit\u00e9 est pertinente pour des objets tels que des galaxies, mais elle ne l\u2019est pas n\u00e9cessairement s\u2019il s\u2019agit de comparer deux groupes de personnes, par exemple, deux familles. Ainsi on ne dit pas n\u00e9cessairement que deux familles sont de grandeurs comparables alors que l\u2019une comporte deux fois plus de personnes que l\u2019autre comme dans le cas de trois et de six enfants respectivement pour ces deux familles. On peut en conclure que la comparabilit\u00e9 de deux ou plusieurs ensembles d\u00e9pend du type d\u2019ensemble ou de la grandeur de ces ensembles.\u00a0<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Lorsqu\u2019on parle en g\u00e9n\u00e9ral de la richesse de la biosph\u00e8re, de la diversit\u00e9 du vivant, ou encore des cultures humaines ou du g\u00e9nie humain, on sous-entend des quantit\u00e9s d\u2019\u00e9l\u00e9ments distincts ou diversifi\u00e9s qui ont exist\u00e9 ou existent effectivement, ou qui existeront \u00e9ventuellement. Cela s\u2019illustre par exemple par le nombre d\u2019esp\u00e8ces existant ou bien par le nombre d\u2019\u0153uvres contenues dans un grand mus\u00e9e ou une grande biblioth\u00e8que. De telles quantit\u00e9s sont chiffrables en milliers ou en millions. Il s\u2019agit d\u2019ordres de grandeur qui sont tous exprimables au premier super-ordre (entre 10 et 10 milliards). On n\u2019a encore jamais ressenti le besoin de d\u00e9finir les super-ordres en g\u00e9n\u00e9ral. Le premier d’entre eux suffit \u00e0 \u00e9valuer en pratique toutes les quantit\u00e9s, du moins les quantit\u00e9s les plus grandes auxquelles nous sommes habitu\u00e9s. Les nombres dits astronomiques sont en g\u00e9n\u00e9ral situ\u00e9s au second super-ordre (entre 10 milliards et 10 exp(1010<\/sup>) ). Les deux premiers super-ordres suffisent donc tr\u00e8s g\u00e9n\u00e9ralement \u00e0 exprimer la complexit\u00e9 \u00e0 laquelle on est susceptible de penser. Or, les deux premiers super-ordres de grandeur ne permettent pas d\u2019exprimer la grandeur des potentiels r\u00e9els en g\u00e9n\u00e9ral, except\u00e9 dans les cas triviaux ou de mod\u00e8les simplifi\u00e9s. Les ordres de grandeurs des potentiels r\u00e9els sont si \u00e9normes que nous ne sommes tout simplement pas en mesure de les exprimer dans la terminologie existante.<\/p>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 L\u2019utilisation des super-ordres va nous permettre d\u2019exprimer ces r\u00e9alit\u00e9s et de les comparer \u00e0 d’autres.\u00a0Ce type de comparabilit\u00e9 est applicable \u00e0 des ensembles de tr\u00e8s<\/em> grandes tailles, si grandes en fait qu\u2019on n\u2019en a encore presque jamais eues \u00e0 consid\u00e9rer d\u2019aussi grandes, que ce soit en astronomie ou dans tout autre domaine de recherche. Or, les potentiels r\u00e9els<\/em> de diff\u00e9rents syst\u00e8mes peuvent \u00eatre de tailles aussi grandes. Ce nouveau type de comparabilit\u00e9 sera donc applicable aux potentiels r\u00e9els de diff\u00e9rents syst\u00e8mes. Est en cause le nombre des potentialit\u00e9s r\u00e9elles qui sont incluses dans le potentiel r\u00e9el d\u2019un syst\u00e8me \u00e0 un moment donn\u00e9. Ce syst\u00e8me peut, comme nous le verrons, \u00eatre l\u2019Univers observable, la biosph\u00e8re ou encore l\u2019humanit\u00e9, une collectivit\u00e9 humaine ou m\u00eame une simple personne.<\/p>\n

\u00a0Suite<\/a><\/p>\n

modifier<\/a><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 On appelle habituellement \u00ab\u00a0ordres de grandeurs\u00a0\u00bb les diff\u00e9rentes puissances de dix. Ainsi les nombres qui sont de l\u2019ordre de 10, 100, 1000, \u2026, 106, 109,\u00a0etc., repr\u00e9sentent les ordres de grandeurs usuels. Nous pouvons dire par exemple que l\u2019ordre de grandeur de la…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1349,"menu_order":560,"comment_status":"open","ping_status":"open","template":"","meta":[],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/agoratheque.3zcom.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/2068"}],"collection":[{"href":"http:\/\/agoratheque.3zcom.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/agoratheque.3zcom.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/agoratheque.3zcom.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/agoratheque.3zcom.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=2068"}],"version-history":[{"count":9,"href":"http:\/\/agoratheque.3zcom.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/2068\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3724,"href":"http:\/\/agoratheque.3zcom.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/2068\/revisions\/3724"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/agoratheque.3zcom.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1349"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/agoratheque.3zcom.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=2068"}],"wp:term":[{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/agoratheque.3zcom.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=2068"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}