\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Une preuve accept\u00e9e \u00e0 un moment donn\u00e9 est toujours susceptible, plus tard, d\u2019\u00eatre relativis\u00e9e. On pourra par exemple montrer le caract\u00e8re arbitraire de certains des pr\u00e9suppos\u00e9s sur lesquels elle repose. La preuve sera d\u00e9sormais r\u00e9put\u00e9e moins g\u00e9n\u00e9ralement valable qu\u2019on ne l\u2019avait d\u2019abord cru. Dans certains cas, le formalisme et la rigueur seront r\u00e9tablis sur de nouvelles bases.\u00a0<\/p>\n
\u00a0 Les cas d\u2019axiomes faussement \u00e9vidents<\/em><\/strong>\u00a0<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Le cas le plus fameux de remise en question des d\u00e9monstrations est sans doute celui du cinqui\u00e8me postulat d\u2019Euclide, qui se trouve relatif \u00e0 l\u2019espace euclidien et qui, donc, d\u00e9pend d\u2019un pr\u00e9suppos\u00e9 qui est rest\u00e9 longtemps dissimul\u00e9 sous une fausse \u00e9vidence. Un autre cas est celui de l\u2019axiome de choix. Celui-ci s\u2019est r\u00e9v\u00e9l\u00e9 indispensable \u00e0 la d\u00e9monstration d\u2019une classe \u00e9tendue de th\u00e9or\u00e8mes en analyse, en topologie g\u00e9n\u00e9rale et en logique1<\/sup><\/a>. Il en ressort \u00e0 nouveau une profonde relativisation de la notion de d\u00e9monstration. Plusieurs ont conclu de ces deux cas que tout syst\u00e8me axiomatique \u00e9tait essentiellement relatif. Il n\u2019est cependant pas clair si cela signifie que tout en math\u00e9matiques est relatif ou bien si nos modes de saisie ou d\u2019appr\u00e9hension du r\u00e9el math\u00e9matique sont en eux-m\u00eames relatifs.<\/p>\n La r\u00e9alit\u00e9 math\u00e9matique<\/em><\/strong><\/em><\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Il existe quelque chose comme une r\u00e9alit\u00e9 math\u00e9matique \u00e0 d\u00e9couvrir. Nos axiomes indiquent, de fa\u00e7on d\u00e9tourn\u00e9e, l\u2019existence d\u2019une sorte de r\u00e9el math\u00e9matique plus global que le r\u00e9el physique. La f\u00e9condit\u00e9 des syst\u00e8mes axiomatiques ou, plus g\u00e9n\u00e9ralement, des th\u00e9ories math\u00e9matiques semblent bien confirmer ce fait.<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 D\u2019ailleurs, ainsi que nous l\u2019avons vu ici, le r\u00e9el physique se pr\u00e9sente sous le double aspect d\u2019un r\u00e9el physico-math\u00e9matique, qui constitue, dans l\u2019Univers (ontologique ou physique), tout ce qui est r\u00e9ellement potentiel, et d\u2019un r\u00e9el physico-cognitif, qui constitue, dans ce m\u00eame Univers, tout ce qui s\u2019y passe effectivement.<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 La r\u00e9alit\u00e9 math\u00e9matique telle que r\u00e9v\u00e9l\u00e9e par la richesse des th\u00e9ories math\u00e9matiques serait quelque chose comme un monde r\u00e9el<\/em> englobant cet Univers physico-math\u00e9matique, une sorte d\u2019exo-cosmos beaucoup plus vaste que tout ce que nous connaissons actuellement.\u00a0<\/p>\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 On ne comprend pas bien encore le concept d\u2019existence math\u00e9matique et m\u00eame, indirectement, le concept de propri\u00e9t\u00e9 bien d\u00e9finie. Il faudrait, pour cela, mettre au jour tous les pr\u00e9suppos\u00e9s cach\u00e9s. Il existe d\u2019ailleurs des \u00e9coles de pens\u00e9e qui tentent de justifier leurs points de vue respectifs au moyen d\u2019arguments qui ne sont pas d\u00e9cisifs. Ces divergences apparaissent souvent comme de simples diff\u00e9rences de styles ou, comme on dit, de \u00ab\u00a0philosophies\u00a0\u00bb (en un sens subjectif).<\/p>\n