{"id":5124,"date":"2016-01-28T17:28:39","date_gmt":"2016-01-28T21:28:39","guid":{"rendered":"http:\/\/mail.agoratheque.3zcom.com\/?page_id=5124"},"modified":"2017-02-17T06:57:59","modified_gmt":"2017-02-17T10:57:59","slug":"annexe","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/agoratheque.3zcom.com\/?page_id=5124","title":{"rendered":"Annexe: les cat\u00e9gories d’id\u00e9es"},"content":{"rendered":"

La th\u00e9orie g\u00e9n\u00e9rale des cat\u00e9gories<\/em><\/p>\n

La th\u00e9orie g\u00e9n\u00e9rale des cat\u00e9gories \u00e9tudie les structures d\u2019id\u00e9es scientifiques en g\u00e9n\u00e9ral, que ce soit dans les disciplines telles que la physique, la biologie et les math\u00e9matiques, mais aussi dans l\u2019ensemble de la philosophie et des sciences humaines et sociales. Elle s\u2019applique en outre de fa\u00e7on unificatrice aux id\u00e9es de l\u2019ensemble des disciplines de recherche en g\u00e9n\u00e9ral.<\/p>\n

L\u2019\u00e9tude des cat\u00e9gories d\u2019id\u00e9es a \u00e9t\u00e9 motiv\u00e9e par l\u2019existence de structures conceptuelles ou math\u00e9matiques qui traversent certaines parties de l\u2019ensemble des disciplines alors m\u00eame qu\u2019elles s\u2019ignorent mutuellement. Ces structures prennent souvent la forme d\u2019analogies exactes, ce qui inclut plusieurs analogies math\u00e9matiques en physique, mais \u00e9galement certaines analogies conceptuelles entre les sciences physiques, les sciences biologiques et les sciences humaines et sociales.<\/p>\n

La d\u00e9finition de la th\u00e9orie g\u00e9n\u00e9rale des cat\u00e9gories consiste d\u2019abord \u00e0 poser des cat\u00e9gories d\u2019id\u00e9es scientifiques. Par exemple, les id\u00e9es de la physique forment une cat\u00e9gorie, c\u2019est-\u00e0-dire une structure alg\u00e9brique dont les objets, appel\u00e9s id\u00e9es<\/em>, sont des concepts, des th\u00e9ories, des hypoth\u00e8ses ou des probl\u00e8mes, etc. de la physique. On suppose que cette d\u00e9finition est assez claire et pr\u00e9cise pour permettre d\u2019obtenir des r\u00e9sultats int\u00e9ressants pour les chercheurs en g\u00e9n\u00e9ral.<\/p>\n

La d\u00e9finition abstraite de l\u2019id\u00e9om\u00e9trie prend d\u2019abord mod\u00e8le sur celle des cat\u00e9gories d\u2019objets\u00a0 math\u00e9matiques. Une cat\u00e9gorie d\u2019id\u00e9es scientifiques est constitu\u00e9e par la donn\u00e9e d\u2019une classe de telles id\u00e9es et de correspondances entre ces id\u00e9es, appel\u00e9es id\u00e9omorphismes. On pose alors une fonction F\u00a0: C \u2192\u00a0D d\u2019une cat\u00e9gorie C \u00e0 une cat\u00e9gorie D, qui \u00e0 toute id\u00e9e scientifique X de C associe une id\u00e9e scientifique F(X) de D de telle fa\u00e7on qu\u2019\u00e0 tout id\u00e9omorphisme f\u00a0: \u00a0X \u2192\u00a0Y de C, est associ\u00e9 un id\u00e9omorphisme F(f)\u00a0: F(x) \u2192\u00a0F(y) de D, qui pr\u00e9serve la structure de C, c\u2019est-\u00e0-dire qui comportent un \u00e9l\u00e9ment neutre F(IdA) <\/sub>= Id(Fa) <\/sub>et qui pr\u00e9servent la composition\u00a0: pour tous les objets X, Y et Z et morphismes f\u00a0: X \u2192 Y et \u00a0g\u00a0:\u00a0Y\u00a0\u2192\u00a0Z\u00a0de\u00a0C, F(g \u2022 f) = F(g) \u2022 F(f).<\/p>\n

On d\u00e9finit, en id\u00e9om\u00e9trie, C et D comme deux domaines d\u2019id\u00e9es scientifiques, qui peuvent \u00eatre par exemple la physique et la biologie,\u00a0 X et Y comme deux id\u00e9es\u00a0scientifiques d\u2019un m\u00eame domaine d\u2019id\u00e9es, par exemple les <particules \u00e9l\u00e9mentaires> et l\u2019<atome>, un id\u00e9omorphisme (morphisme id\u00e9om\u00e9trique) f ou g en tant qu\u2019association formelle d\u2019id\u00e9es scientifiques.<\/p>\n

 <\/p>\n

Les transformations naturelles<\/em><\/p>\n

Un autre aspect essentiel de la th\u00e9orie g\u00e9n\u00e9rale des cat\u00e9gories est ce qu\u2019on y appelle les transformations naturelles, sans doute en raison de leur utilit\u00e9 pour \u00e9tudier le caract\u00e8re fr\u00e9quent et assez \u00e9vident mais mal compris de certains rapports profonds des objets math\u00e9matiques entre eux. Dans le cas de la th\u00e9orie g\u00e9n\u00e9rale des cat\u00e9gories, il s\u2019agit en gros des diff\u00e9rentes fa\u00e7ons dont les fonctions d\u2019id\u00e9es scientifiques se relient entre elles.<\/p>\n

D\u00e9finissons donc les transformations naturelles de telle fa\u00e7on qu\u2019elles puissent s\u2019av\u00e9rer utiles pour le d\u00e9veloppement de l\u2019id\u00e9om\u00e9trie.<\/p>\n

Soit deux cat\u00e9gories d\u2019id\u00e9es scientifiques et d\u2019id\u00e9omorphismes C et D, on d\u00e9finit d\u2019abord Id\u00e9es(C), l\u2019ensemble des id\u00e9es de C et id\u00e9o(D), l\u2019ensemble des id\u00e9omorphismes dans D. On d\u00e9finit ensuite deux fonctions F et G de C dans D\u00a0; on appelle transformation naturelle<\/em> de F dans G, et on note m\u00a0: F \u2192\u00a0G, une application m de Id\u00e9es(C) dans Id\u00e9o(D) v\u00e9rifiant\u00a0:<\/p>\n

1)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 pour tout objet A de C<\/p>\n

m(A)\u00a0: F(A) dans G(A)\u00a0;<\/p>\n

2)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 pour tout id\u00e9omorphisme f\u00a0: A \u2192\u00a0B de C,<\/p>\n

on a<\/p>\n

m(B)F(f)\u00a0 =\u00a0 G(f)m(A)<\/p>\n

Exemple\u00a0: On peut v\u00e9rifier que les deux fonctions correspondant aux propri\u00e9t\u00e9s d\u2019\u00eatre une unit\u00e9 constitutive d\u2019un ordre de r\u00e9alit\u00e9<\/em> et d\u2019\u00eatre une base pour une \u00e9volution productive<\/em> sont li\u00e9es \u00e0 la fonction appliquant un type d\u2019\u00e9volution dans un type de complexification sup\u00e9rieur d\u2019\u00e9volution, de fa\u00e7on \u00e0 constituer une transformation naturelle.<\/p>\n\n\n\n\n
\u00a0<\/strong>Une structure implicite en physique, biologie et sciences humaines<\/strong>\u00a0<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
Transformation naturelle des correspondances entre deux ordres de r\u00e9alit\u00e9\u00a0:<\/em><\/p>\n\n\n\n
<unit\u00e9 constitutive d\u2019un ordre de r\u00e9alit\u00e9><\/p>\n

\u2193<\/p>\n

<\u00e9volution propre \u00e0 un ordre de r\u00e9alit\u00e9><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

 <\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Les id\u00e9omorphismes des id\u00e9es de la physique et ceux des id\u00e9es biologiques sont encore les id\u00e9es d\u2019autres cat\u00e9gories d\u2019id\u00e9omorphismes, qui repr\u00e9sentent des structures d\u2019id\u00e9es. Les transformations naturelles de type id\u00e9om\u00e9trique permettent de mettre en \u00e9vidence les structures qu\u2019elles pr\u00e9servent, qui peuvent \u00eatre pr\u00e9sent\u00e9es dans des s\u00e9quences ou des tableaux de s\u00e9quences id\u00e9om\u00e9triques. Il appara\u00eet que la structure L repr\u00e9sente un ensemble de traits issus de plusieurs transformations naturelles.<\/p>\n

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